\documentclass[12pt]{article}
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\newcommand{\ra}[1]{\renewcommand{\arraystretch}{#1}}

\begin{document}

\section{Union et intersection}

\begin{figure}[H]
    \caption{Intersection entre deux évenement A et B, notée \(A \cap B\) (A inter B)}
    \centering
        \includegraphics[width=0.5\textwidth]{intersection.png}
\end{figure}


\begin{figure}[H]
    \caption{Union entre deux évenement A et B, et entre deux autres
    évenements C et D, notée \(A \cup B\) (A union B), resp. \(C \cup D\) (C union D)}
    \centering
        \includegraphics[width=\textwidth]{union.png}
\end{figure}


\section{Propriétés}

\(0 \leq P(A) \leq 1\) \\
\(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\) \\
\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\) \\
\(P(A \cap B) = P(A) * P(B)\)  si A et B sont indépendants \\
\(P(\overline{A} \cup \overline{B}) = P(\overline{A \cap B}) = 1 - P(A \cap B)\) \\
\(P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B)\) \\


\section{Calcul d'une probabilité}
\subsection{Formules}

Pour calculer une probabilité, on calcule le nombre de combinaisons possibles de
l'évenement recherché \(Card(A)\), qu'on divise par le nombre total de combinaisons
possibles \(Card(\Omega)\) : \(\frac{Card(A)}{Card(\Omega)}\). On appelle ce nombre
de combinaisons "cardinal".\\
\\
Pour calculer un cardinal, il existe 3 formules à appliquer selon la situation :
\begin{table*}[htb]
\centering
\ra{1.3}
\begin{tabular}{@{}rl|ll@{}}
& $Situation$ & $Formule$ &$Calcul$\\
\hline
& Simultané& \(C_{n}^{p}\) & \(\frac{n!}{p!(n-p)!}\)\\
& Successif sans remise& \(A_{n}^{p}\) & \(p * p-1 * p-2 * ... * (p-n)+1 \)\\
& Successif avec remise& \(n^p\) & \(n*n*n...\)\\
\end{tabular}
\caption{Calcul d'un cardinal}
\end{table*}


\begin{table*}[htb]
\centering
\ra{1.3}
\begin{tabular}{@{}ll@{}}
& \(C_{3}^{7} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7*6*5*4!}{3!*4!} = \frac{35 * 3 * 2}{3 * 2} = 35\)\\
& \(A_{3}^{7} = 7 * 6 * 5 = 7 * 30 = 210\)\\
& \(3^{7} = 3*3*3*3*3*3*3 = 2187\)\\
\end{tabular}
\caption{Exemples de calculs utilisant ces formules}
\end{table*}

\subsection{Exemples}

Nous avons 3 abricots et 4 pommes.

\begin{figure}[H]
    \caption{Univers composé de 3 abricots orange et 4 pommes vertes}
    \centering
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{univers.png}
\end{figure}


\subsubsection{Tirage successif avec remise}

Quelle est la probabilité de tirer successivement 5 abricots, en les remettant en place après chaque tirage ?

\begin{figure}[H]
    \caption{Évenement recherché, 5 abricots d'affilée}
    \centering
        \includegraphics[width=\textwidth]{cinq_abricots.png}
\end{figure}

Nous tirons 5 fois, et 3 des éléments sont des abricots.
Le cardinal de notre évenement est \(Card(A) = 3^{5} = 243\)\\

Nous avons un total de 8 éléments sur chacun des tirages.
Calculons le cardinal : \(Card(\Omega) = 7^{5} = 16807\)\\

Nous avons ainsi \(\frac{Card(A)}{Card(\Omega)} = \frac{243}{16807} \approx 1,45\% \)
de tirer 5 abricots d'affilée.\\

Même calcul, mais cette fois pour tirer 3 abricots suivis de 2 pommes :\\
\(\frac{Card(A)}{Card(\Omega)} = \frac{3^{3} * 4^{2}}{7^{5}} = \frac{432}{16807} \approx 2,57\% \)\\

Cette notation peut être comprise de la manière suivante :
nous avons \(\frac{3}{7}\) de tirer un abricot, puis à nouveau \(\frac{3}{7}\) deux autres fois.
Nous avons ensuite \(\frac{4}{7}\) de tirer une pomme, deux fois de suite.
Nous pouvons ainsi écrire notre probabilité sous la forme \(\frac{3}{7} * \frac{3}{7} * \frac{3}{7} * \frac{4}{7} * \frac{4}{7}\), qui correspondent
bien à notre notation \(\frac{3^{3} * 4^{2}}{7^{5}}\).


\subsubsection{Tirage successif sans remise}

Quelle est la probabilité de tirer successivement 1 abricot puis 1 pomme, sans les remettre en place après chaque tirage ?

\begin{figure}[H]
    \caption{Évenement recherché, 1 abricot puis 1 pomme}
    \centering
        \includegraphics[width=\textwidth]{deux_abricots_puis_trois_pommes.png}
\end{figure}

Commençons par le tirage des abricots. Nous avons 3 abricots disponibles, et 
nous voulons en tirer deux d'affilée. Nous avons 7 fruits au début du tirage.\\
\(\frac{Card(A)}{Card(\Omega)} =
 \frac{A_{2}^{3}}{A_{2}^{7}} = \frac{\cancel{3*2}}{7*\cancel{6}} = 
 \frac{1}{7} \approx 14\% \).
Nous avons ainsi environ 14\% de probabilité de tirer deux abricots de suite.\\

Continuons avec les pommes. Notre univers \(\Omega\) n'est désormais plus constitué que
d'1 abricot et 4 pommes, soit un total de 5 fruits. Nous voulons tirer 3 des 4 pommes, d'affilée.
\(\frac{Card(A)}{Card(\Omega)} =
 \frac{A_{3}^{4}}{A_{3}^{5}} = 
 \frac{\cancel{4}*\cancel{3}*2}{5*\cancel{4}*\cancel{3}} = 
 \frac{2}{5} = 40\% \)
de probabilité de tirer 3 pommes d'affilée, sur les 5 fruits disponibles.\\

En mettant bout à bout nos deux probabilités successives, nous avons
\(\frac{1}{7} * \frac{2}{5} = \frac{2}{35} \approx 5,71\%\) de probabilité
que notre évenement complet, le tirage de 2 abricots puis de 3 pommes, se produise.\\

Nous pouvons reproduire ce calcul en calculant évenement après évenement :
\(\frac{3}{7} * \frac{2}{6} * \frac{4}{5} * \frac{3}{4} * \frac{2}{3}\), ce qui
correspond bien à notre calcul.

\subsubsection{Tirage simultané}

Quelle est la probabilité de tirer simultanément 2 abricots et 1 pomme ?

\begin{figure}[H]
    \caption{Évenement recherché, 2 abricots et 1 pomme}
    \centering
        \includegraphics[width=0.3\textwidth]{tirage_souhaite.png}
\end{figure}

Nous devons trouver 2 abricots sur 3 disponibles \(Card(A) = C_3^2\) et 1 pomme sur 4 disponibles \(Card(A) = C_1^4\).\\
Calculons le cardinal de notre évenement :\\
\(Card(A) . Card(B) = C_3^2 . C_1^4 = \frac{\cancel{3!}}{2!*1!} * \frac{4!}{1!*\cancel{3!}} = \frac{4*3*\cancel{2!}}{\cancel{2!}} = 12\)\\

Le cardinal de l'univers, soit toutes les possibilités, correspond à 3 fruits tirés sur 7 disponibles :\\
\(Card(\Omega) = C_7^3 = \frac{7!}{3!*4!} = \frac{7*6*5*\cancel{4!}}{3*2*\cancel{4!}} = \frac{7*\cancel{6}*5}{\cancel{6}} = 35 \)\\

Nous avons donc \(\frac{Card(A) . Card(B)}{Card(\Omega)} = \frac{12}{35} \approx 0.34\) environ 34\% de chances que cet évenement se produise.




\end{document}
